ジャーク二乗積算値最小化問題の定式化

次の条件を満たす関数 $x(t) (0\le t \le t_{0})$ を求めたい。

制約条件

$\begin{eqnarray} x(0) &=& 0 \\\ \dot{x}(0) &=& 0 \\\ \ddot{x}(0) &=& 0 \\\ x(t_{0}) &=& x_{0} \\\ \dot{x}(t_{0}) &=& 0 \\\ \ddot{x}(t_{0}) &=& 0 \\\ \end{eqnarray}$

最小化関数

$\begin{eqnarray} J(x(t)) = \int_{0}^{t_{0}} \left( \dddot{x}(t)\right)^{2} dt \end{eqnarray}$

解き方

$J$ を最小にする関数が $x_{opt}(t)$ とすると、Jは $x_{opt}(t)$ まわりで極小となっていることが必要条件である。すなわち、 $0\le t \le t_{0}$ で定義され、かつ $\eta(0) = \dot{\eta}(0)=\ddot{\eta}(0)=\eta(t_{0}) = \dot{\eta}(t_{0}) = \ddot{\eta}(t_{0})=0$ を満たす任意の関数 $\eta(t)$ に対して、

$\begin{equation} \frac{dJ(x_{opt}(t)+e \eta(t))}{de} |_{e=0} = 0 \end{equation}$

が成立しなければいけない。これを展開すると

$\begin{eqnarray} \frac{dJ(x_{opt}(t)+e \eta(t))}{de} |_{e=0} &=& \lim_{e \rightarrow 0} \frac{1}{e} \left[\int_{0}^{t_{0}} (\dddot{x}(t)+e\dddot{\eta}(t))^{2} dt - \int_{0}^{t_{0}} \dddot{x}(t) dt \right] \\\ &=& 2 \int_{0}^{t_{0}} \dddot{x}(t) \dddot{\eta}(t) dt \\\ &=& 2 \left[ \dddot{x}(t) \ddot{\eta}(t)\right]_{0}^{t_{0}} – 2 \int_{t}^{t_{0}} \ddddot{x}(t) \ddot{\eta}(t) dt \ \ \ \ \ (部分積分)　\\\ &=& -2 \left[ \ddddot{x}(t) \dot{\eta}(t)\right]_{0}^{t_{0}} + 2 \int_{t}^{t_{0}} x^{(5)}(t) \dot{\eta}(t) dt \ \ \ \ \ (部分積分)　\\\ &=& 2 \left[ x^{(5)}(t) \eta(t)\right]_{0}^{t_{0}} - 2 \int_{t}^{t_{0}} x^{(6)}(t) \eta(t) dt \ \ \ \ \ (部分積分) \\\ &=& - 2 \int_{t}^{t_{0}} x^{(6)}(t) \eta(t) dt \\\ \end{eqnarray}$

なお、 $x^{(5)}(t)$ 、 $x^{(6)}(t)$ はそれぞれ5階微分、6階微分を表す。したがって、

$\begin{equation} \int_{t}^{t_{0}} x^{(6)}(t) \eta(t) dt = 0 \end{equation}$

が任意の関数 $\eta(t)$ で成立しないといけないので、

$\begin{equation} x^{(6)}(t) = 0 \end{equation}$

となり、 $x(t)$ は5次多項式だとわかる。初期条件を満たすように係数を設定すると

$\begin{equation} x(t) = 6x_{0} \left( \frac{t}{t_{0}} \right) ^{5} - 15x_{0}\left( \frac{t}{t_{0}} \right)^{4} + 10x_{0} \left( \frac{t}{t_{0}} \right) ^{3} \end{equation}$