GPS解析 - salpikのブログ

楕円におけるパラメータの定義

f:id:salpik:20210516230705p:plain — 楕円のパラメータ定義

f:id:salpik:20210516231732p:plain — 起動面の定義に関わるパラメータ（図はWikipediaより）

楕円軌道の軌道面を表すパラメータ

昇降点赤経 $\Omega$
起動傾斜角度 $i$
近地点引数 $\omega$ 楕円の長軸が軌道面のうちどの方向にあるかを規定する

楕円の形状を表すパラメータ

長軸
離心率

楕円軌道における位置を表すパラメータ

真近点角

解くべき方程式

$(x_{i}, y_{i}, z_{i})$ にある衛星 $i (i=1, 2, \dots N)$ から対象物までの距離の測定結果 $r_{i}$ が得られたとする。対象物の座標 $(x, y, z)$ を求めたい。方程式は

$\begin{eqnarray} r_{1}^{2} &=& (x-x_{1})^{2} + (y-y_{1})^{2} + (z-z_{1})^{2} \\ r_{2}^{2} &=& (x-x_{2})^{2} + (y-y_{2})^{2} + (z-z_{2})^{2} \\ r_{3}^{2} &=& (x-x_{3})^{2} + (y-y_{3})^{2} + (z-z_{3})^{2} \\ \cdots \end{eqnarray}$

である。非線形方程式なので解析的に解くのは難しいので、初期値から収束させる方法で解を探索する。初期解を $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ し、この位置において得られるはずの測定距離を $r_{i}^{'}$ とすると

$\begin{eqnarray} r_{1}^{'2} &=& (x_{0}-x_{1})^{2} + (y_{0}-y_{1})^{2} + (z_{0}-z_{1})^{2} \\ r_{2}^{'2} &=& (x_{0}-x_{2})^{2} + (y_{0}-y_{2})^{2} + (z_{0}-z_{2})^{2} \\ r_{3}^{'2} &=& (x_{0}-x_{3})^{2} + (y_{0}-y_{3})^{2} + (z_{0}-z_{3})^{2} \\ \cdots \end{eqnarray}$

$r_{i}^{'}$ は実際の測定結果 $r_{i}$ とは差分があるはずなので

$\begin{eqnarray} \Delta r_{1} \equiv r_{1}^{'2} - r_{1}^{'2} \\ \Delta r_{2} \equiv r_{2}^{'2} - r_{2}^{'2} \\ \cdots \end{eqnarray}$

が求まる。一方

$\begin{eqnarray} \Delta r_{1} = \frac{\partial r_{1}}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial r_{1}}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial r_{1}}{\partial z}\Delta z \\ \Delta r_{2} = \frac{\partial r_{2}}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial r_{2}}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial r_{2}}{\partial z}\Delta z \\ \cdots \end{eqnarray}$