Bスプライン曲線とは、次数と制御点およびノットパラメータが与えられた時に、複数の点を重み付けしその重み付けを変えながら曲線を構成する手法である。隣接する「次数+1」個の制御点が使用される。曲線として構成されるのは1次以上の次数である。
次数が上がるほどより遠くの点も重みも考慮して曲線を引くようになるので、より滑らかな曲線となる。

定義

制御点ベクトルを $\vec{p}_{i} (i=0, 2, \dots, L-1)$ とし、各制御点ベクトルに対応するノットパラメータを $t_{i}$ とする。ノットパラメータは、 $t$ の値が $t_{i}$ のときに曲線が $\vec{p}_{i}(t)$ の近くにいて欲しいというような意味で設定するパラメータである。このとき、n次のBスプライン曲線は

$\begin{equation} \vec{P}(t) = \displaystyle{\sum_{i=0}^{L-1}N_{i}^{n}(t)\vec{p}_{i}} \end{equation}$

と表される。ここで、重み $N_{i}^{n}$ は以下の式で、次数nが小さい方から漸化式を使ってされる。

$\begin{eqnarray} N_{i}^{0} (t) &=& 1\ \ \ if (t_{i} \le t \le t_{i+1})\ \ \ else\ \ 0 \\\ N_{i}^{n} (t) &=& \displaystyle{\frac{t-t_{i}}{t_{i+n}-t_{i}}N_{i}^{n-1}(t) + \frac{t_{i+n+1}-t}{t_{i+n+1}-t_{i+1}}N_{i+1}^{n-1}(t)} (n \ge 1) \end{eqnarray}$